Dynamické modelování

Známe rovnice poptávky a nabídky:

Q(d) = 100 - 5P

Q(s)= -20 + 4P

Na základě sklonu křivek zjistíme, že nabídka je zpožděná za poptávkou (má menší sklon).

Zakreslením do grafu získáváme Obrázek č. 1:

Obrázek č. 1: nabídka a poptávka

Rovnovážnou cenu P* a množství Q* vypočteme porovnáním obou předpisů:

Q(s) = Q(d)

Získáme tak hodnoty P = 13,3 a Q = 33,3. V příkladech bývá zadána výchozí cena -> pro naše demonstrativní účely ji stanovme jako P0 = 10:

Obrázek č. 2: graf s vyznačenou počáteční cenou

Když už známe počáteční cenu a máme zakresleny křivky S a D, můžeme vytvořit tzv. "pavučinový model". V něm je zachycena cena a množství, které se v realitě nachází na trhu, než systém nabude celkově rovnovážného bodu:

Obrázek č. 3: pavučinový model vývoje cen a množství. POZOR: musel jsem kvůli decentní chybě prohodit osy, v původní konstelaci by šla spirála nejprve nahoru.

Na Obrázku č. 3 zobrazuje černá čára postupnou změnu kvantity a ceny zboží. 

1. V první, nejdelší horizontální části se vychází z počáteční ceny, kdy počítáme s tím, že výrobce je níže, než je globální rovnovážná cena. Výrobce tím pádem vyrábí příliš malé množství a je mu to dáváno najevo nespokojenými kupujícími - v regálech chybí výrobky.
2. Výrobce zvýší cenu a snaží se vyrábět větší množství.
3. Poptávka však cenu tlačí opět dolů, nikomu se nechce konzumovat nadbytek.
4. Výrobci stlačí dolů množství, protože nechtějí vyrábět nadprodukci.

Z modelu krásně vyplývá, jak jsou všechny naše ekonomické modely nepřesné, neboť ve většině příkladů počítáme rovnováhu rovnováhu rovnováhu, ale nikde neřešíme, jak jsme k ni došli. 

Nyní musíme odvodit rovnici dynamické rovnováhy; pokud je nabídka zpožděna o jedno období za poptávkou, budou rovnice vypadat takto:

Q(s t+1) = 100 - 5P(t)

Q(d t+1) = -20 + 4P(t+1)

Položením strany nabídky a poptávky do rovnosti získáme vztah:

4P(t+1) + 5P(t) = 120

Což je hledaná rovnice dynamické rovnováhy. Dále můžeme zjistit tzv. zkrácenou rovnici:

4P(t+1) + 5P(t) = 0

Z ní zjistíme tzv. charakteristickou rovnici a z ní koeficient λ:

4 λ (1) + 5 λ (0) = 0

λ = -5/4

Teorie užitku - funkce dvou proměnných v ekonomii

Máme-li ukázat využití funkce dvou proměnných ve funkci užitku, musíme nejprve vymezit, kam sahá zadání většiny příkladů.


Indiferenční křivky
Jedná se o křivky, které spojují body, v nichž má konzument ze dvou výrobků stejný užitek.

Linie rozpočtu
Čára, která nám udává, co si konzument může dovolit, tedy kam jej pustí jeho rozpočet.

Důchodově spotřební křivka

Obrázek č. 1: Důchodově spotřební křivka

Na obrázku 1 je zachycena situace, kdy se spotřebitel rozhoduje mezi výrobky X a Y na základě toho, jaký má z daných kombinací užitek a co si může dovolit. 

To první - užitek - zachycují jeho indiferenční křivky, paraboly černou barvou.

To druhé - finanční limit - zachycují modré křivky, tzv. isokosty.

Bod optima je tam, kde spotřebitelova rozpočtová linie protíná některou indiferenční křivku.

Když se spotřebitelovi zvedne plat, může si dovolit utratit více peněz, izokosta se tedy posouvá směrem doprava. To způsobí, že spotřebitel dosáhne na svou vyšší indiferenční křivku a najde nové optimum (ve vyšší poloze, tedy kombinace většího množství výrobků X a Y).

Je tedy patrné, že důchodově spotřební křivka (income consume [consumption] curve - ICC) zachycuje vztah spotřebitele k ceně výrobku, za předpokladu, že se bude měnit linie rozpočtu spotřebitele.

Cenově spotřební křivka

Narozdíl od ICC zachycuje PCC (price) situaci, kdy se spotřebitel taktéž rozhoduje mezi dvěma statky, avšak nemění se jeho linie rozpočtu, ale cena jednoho ze dvou statků (kdyby se měnila cena obou statků stejným tempem, jsme opět na ICC).

V praxi nám tak nevzniká posun, ale změna sklonu izokosty.

Extrémní účinky fiskální a monetární politiky

Zadání úkolu:
Vypracujte si přehled extrémních účinků politik. 


Úkol spočívá v analýze extrémních účinků fiskální a monetární politiky, tedy v případech, kdy je křivka IS, resp. LM horizontálně nebo vertikálně položena.


Fiskální expanze:

Obrázek č. 1 - extrémní účinky fiskální politiky

Maximální účinky fiskální politiky nastávají, když se h blíží nekonečnu, resp. b blíží nule. Křivka LM je pak horizontálně položena a v druhém případě je křivka IS zcela vertikální. 

V obou těchto případech je velikost vytěsnění nulová a produkt:

ΔY = γ . ΔA                α = γ 

 Obrázek č. 2 - fiskální multiplikátor

Minimální účinky nastávají při h blížícím se nule nebo b blížícímu se nekonečnu. Křivka LM je pak vertikální, resp. křivka IS horizontální. V obou případě nastává největší možné vytěsnění,

Monetární expanze:

Obrázek č. 3 - extrémní účinky monetární expanze

U monetární expanze je situace podobná, jediným rozdílem je, že nemění sklon, resp. polohu křivky IS, ale měníme sklon, resp. polohu křivky LM.

Obrázek č. 4 - monetární multiplikátor

Maximální změna produktu, v případě maximálního účinku monetární politiky a tedy nulového vytěsnění:

Monetární a fiskální politika

Zadání úkolu:
Modelujte velikost produkce vytěsněné fiskální, resp. monetární politikou.

Trocha teorie zde.
Teorie ve zkratce: vláda může ovlivňovat ekonomiku pomocí tzv. fiskální (rozpočtové) politiky, zatímco centrální banka může ekonomiku ovlivňovat pomocí tzv. monetární (měnové) politiky. V praxi to v ekonomické matematice znamená, že hovoříme-li o fiskální politice, hýbeme s křivkou IS, tedy křivkou rovnováhy na trhu zboží a služeb, na níž mají vliv vládní výdaje, transferové platby a daně, kdežto bavíme-li se o měnové politice, zabýváme se křivkou LM, tedy křivkou rovnováhy na trhu peněz, křivkou, na níž má největší vliv centrální banka.

Mějme zadány hodnoty a z nich vyvozené předpisy křivek:
t=0,25, c=0,8, A0=1000, b=30, k=0,4, M/P = 300

IS: Y = 2,5 * (1000 - 30*i)

LM: i = 0,4*Y - 300

Můžeme pokračovat metodou zjištění souřadnic rovnovážných bodů E0, E1 a Em, kdy E0 získáme vypočtením soustavy rovnic o dvou neznámých:

Eo:    io = 9,5    Yo = 1780     Eo = [9,5 ; 1780]

Předpokládejme, že vláda formou fiskální politiky navýší vládní výdaje nebo transfery o 200 jednotek. Nová rovnováha tedy vyplyne ze stejného výpočtu při změně předpisu křivky IS:

IS': Y = 2,5 * (1200 - 30*i)

LM: i = 0,4*Y - 300

E1:     i1 = 11,5      Y1 = 2137      E1 = [11,5 ; 2657]

Zde však počítáme s rovnováhou, která nastává i při zvýšení úrokové míry. Rozdíl mezi touto rovnováhou a rovnováhou na nové křivce IS pro původní úrokovou míru se nazývá vytěsněná produkce. Poslední zmíněnou rovnováhu získáme dosazením původní i do nové IS:

IS': Y = 2,5 * (1200 - 30*i)

E2:      i2(0) = 9,5       Y2 = 2278     E2 = [9,5 ; 2278]

Obrázek č. 1: grafické znázornění případu fiskální expanze

Konkrétní příklad změny IS-LM

Zadání úkolu:

1. Analytické odvození křivek s různými sklony
2. Grafické odvození křivek s různými sklony
3. Analytické vyjádření křivek s použitím vzorců
4. Grafické zakreslení výsledků

Na následujícím příkladě si ukážeme, jak se konkrétně může měnit přímka LM.

Vycházejme z předpisu L:

L=k*Y - h*i

Budeme měnit K, tedy citlivost poptávky po penězích na změnu úrokové míry, a to z 0.4 na 0.8.

Předpokládejme h=0.5, k=0.4 a k'=0.8, Y1=100, Y2=200.

Dostáváme tedy 4 varianty přímky LM:

L1 = 40 - 0,5*i

L2 = 80 - 0,5*i

L1' = 80 - 0,5*i

L2' = 160 - 0,5*i

Graficky vyjádříme přímky po získání jejich průsečíků s osami souřadnic. Dosazením 0 za jednotlivá L získáme hodnoty i, kterými doplníme informace o bodech rovnováhy na jednotlivých přímkách LM.

E1 = [100 ; 80]

E2 = [200 ; 160]

E1' = [100 ; 160]

E2' = [200 ; 320]

Obrázek č. 1: Grafické znázornění změny sklolu LM vlivem změny k.

Jak vidíme, na příkladu jsme v podstatě ověřili správnost závěrů minulého úkolu, tedy že se změnou k se mění sklon přímky LM, máme-li tedy koeficient k menší, resp. větší, je LM plošší, resp. strmější.

Sklony a posuny křivek IS, LM

Zadání úkolu:
Které veličiny ovlivní sklon, resp. posun křivky IS, resp. LM? 

Nejprve trocha teorie z wikipedie pro usnadnění pochopení.

Předpis křivky IS je dán rovnicí:

IS: Y =  α  . (A - b*i)

Kde Y je důchod, α je výdajový multiplikátor, A jsou autonomní výdaje, b je citlivost investic na změnu úrokové míry a i je úroková míra.

Předpis křivky LM je dán rovnicí:

LM:

Kde k je citlivost poptávky po penězích na změnu důchodu, h  je citlivost poptávky po penězích na změnu úrokové míry a M/P je nabídka peněz, kterou určuje centrální banka.

Obrázek č. 1: sklon křivky IS

Obrázek č. 1 zachycuje změnu sklonu přímky IS. Taková situace může nastat, pokud se mění výdajový multiplikátor (černá přímka IS2) nebo pokud se mění citlivost investic na změnu úrokové míry (červená přímka IS1).

Obrázek č. 2: posun křivky IS

Obrázek č. 2 zachycuje posun přímky IS, který nastane buď navýšením (červená přímka IS3) nebo snížením (černá přímka IS2) autonomních výdajů.

Obrázek č. 3: změna sklonu přímky LM

Přímka LM může svůj sklon změnit, když se změní koeficienty k nebo h. Tzn., jak ukazuje obrázek č. 3, stoupne-li citlivost poptávky po penězích na důchod nebo stoupne-li citlivost poptávky po penězích, je přímka LM strmější (jako černá LM2) a naopak (jako červená LM3).

Obrázek č.4: posun přímky LM

Pokud se mění nabídka peněz, posouvá se celá přímka LM, a to buď doprava nebo doleva (pokud M/P roste, resp. klesá).

Akumulace kapitálu

Ihned na počátku této kapitoly je dobré vysvětlit si pojmy toková a stavová veličina. Toková veličina vyjadřuje velikost něčeho měřenou např. v určitém časovém období, zatímco veličina stavová zachycuje okamžitý stav.
Nyní můžeme pochopit rozdíl mezi kapitálovým tokem a hodnotou kapitálu.


Kapitálový tok je funkcí kapitálu v čase: K(t)=t^2 +1.
Hodnota kapitálu pak vyjadřuje hodnotu této funkce v daném okamžiku: K(2)=2^2 + 1 = 5.

Vztah mezi kapitálovým a investičním tokem
Investice se dají chápat jako tok výdajů, kterým můžeme navýšit hodnotu kapitálu. Investiční tok vyjadřuje změnu kapitálu v určitém období.

I(t) = ΔK / Δt

V praxi známe pouze funkci investičního toku, abychom získali funkci kapitálového toku, musíme funkci investičního toku derivovat, a naopak, chceme-li z funkce kapitálového toku zjistit funkci investičního toku, musíme funkci kapitálového toku integrovat.

K(t) = I(t)'

I(t) = K(t)

Vztah mezi hodnotou akumulovaného kapitálu vyjádřenou investiční funkcí a kapitálovou funkcí je vysvětlen na Obrázku č.1. Zakreslujeme-li do grafu kapitálovou funkci, pak hodnota akumulovaného kapitálu představuje vzdálenost na ose závisle proměnné v daném časovém úseku (čas zde bereme jako nezávisle proměnnou). Naopak, zakreslujeme-li do grafu investiční funkci, velikost akumulovaného kapitálu představuje plocha mezi dvěma časy a křivkou investiční funkce.

Obrázek č.1: investiční a kapitálová funkce a vyjádření hodnoty akumulovaného kapitálu (u kapitálové funkce se jedná o červený úsek na vertikální ose.

Jednoduchou úvahou zjišťujeme, že ke konkrétní hodnotě dorazíme buď pomocí určitého integrálu a dvou hodnot času při použití investiční funkce nebo rozdílem dvou funkčních hodnot pro dva časy při použití funkce kapitálové. Oběma postupy docházíme ke stejnému výsledku.

Makroekonomická rovnováha ve třísektorové ekonomice

Zadání úkolu:
Odvoďte multiplikační efekt ve tří sektorové ekonomice.


Teorie:
Třísektorová ekonomika je dvousektorový model rozšířený o vládní výdaje. Narozdíl od čtyřsektorové ekonomiky zde nepočítáme s exportem a importem.


Jako funkci poptávky v třísektorové ekonomice tedy můžeme položit rovnici

AD = C + I + G

Kde C je spotřeba domácností (Consumption), I jsou investice firem (Investments) a G jsou vládní výdaje (government). 
Rozepíšeme vzorec pro spotřebu domácností:

C = C0 + c.Y - c(T0 + t.Y) - c.TR

Kde Y je důchod domácností, c je mezní sklon ke spotřebě (viz. předchozí úkoly), T0 jsou autonomní daně, t je daňová sazba daného státu a TR jsou transferové platby, tedy příspěvky v nezaměstnanosti, starobní důchody atp.

Položíme-li AD rovno Y, a vytkneme-li ze vzorce pro spotřebu mezní sklon ke spotřebě, můžeme odvodit, že

Y = C0 + c(Y - T0 - t.Y + TR) + I + G

Dalšími matematickými operacemi (převážně vytýkáním) směřujeme k osamocení důchodu Y a nakonec dostáváme vzorec

Y = [ 1 / (1 - c * (1 - t) ) ] * (C0 - c.T0 + c*TR + I0 + G0)

První polovina vzorce (v [] hranatých závorkách) je hledaný výdajový multiplikátor (označuje se α - alfa) a druhá polovina vzorce jsou autonomní výdaje A.

Shrnutím je tedy vzorec:

Y=α.A

Posuny / změny sklonu AD

Existují v zásadě 2 možnosti, jak se může křivka AD měnit. První je posun křivky, kterou způsobuje změna autonomních výdajů. Druhou možností je změna sklonu křivky, kterou způsobí změna daňové sazby nebo také změna mezního sklonu k úsporám.

1. Změna autonomních výdajů: může být způsobena změnou vládních výdajů, investic, transferových plateb, autonomní spotřeby a daní. AD se pak posouvá nahoru, resp. dolů, a to v závislosti na zvýšení, resp. snížení autonomních výdajů, viz. obrázek č.1.
2. Změna multiplikátoru: tuto změnu způsobuje buď změna mezního sklonu k úsporám nebo změna daňové sazby. AD se pak neposouvá, ale otáčí, viz. obrázek č.2.

Obrázek č.1: změna autonomních výdajů ve třísektorové ekonomice

Obrázek č.2: změna multiplikátoru ve třísektorové ekonomice

Obrázek č.2 vysvětluje změnu sklonu funkce AD vlivem změny multiplikátoru. Stoupne-li daňová sazba t, multiplikátor se sníží a přímka AD3 je pak plošší. Naopak, stoupne-li mezní sklon k úsporám c, multiplikátor  se zvětší, což vede ke strmější přímce AD1.

Elasticita funkce

Zadání úkolu:

• Zvol funkci rostoucí, resp. klesající a urči graficky jejich elasticity.
• Zvol funkci nabídky (kvadratickou) a urči její elasticitu jako funkci, pak v jednom bodě - početně, graficky.
• Paradox velké úrody, resp. snížení poplatků za telefon

Nejprve jako vždy trocha teorie:

Elasiticita funkce: Jde o relativní míru změn závisle proměnné v závislosti na relativní změně nezávisle proměnné. Měříme ji ve vztahu k celku. Jedná se sice o nespojitý vzorec, ale díky diferenciálnímu počtu přejdeme ke spojitému.

Jinýmy slovy to samé:

Elasticita funkce: elasticita je poměr relativní změny závislé proměnné vyvolaná relativní změnou nezávislé proměnné (relativní je užito proto, že změny vztahujeme k celku; relativní míra je procentuální změna).

Do třetice (nejjednodušší výklad) ještě jinými slovy znovu to samé:

Elasticita: Pojem, který můžeme intuitivně chápat jako rychlost, s jakou se funkce v daném bodě či na intervalu mění.

V ekonomii je několik druhů elasticit:

• důchodová - která říká, jak reagují nakupující na změnu svého důchodu
• křížová - která říká, jak reagují nakupující na změnu cen jednotlivých výrobků
• a další, které popisují rychlost změny jedné veličiny v závislosti na změně druhé veličiny.

Pro praktické příklady budeme v matematice v ekonomii pracovat s absolutní hodnotou výsledku při výpočtu elasticity (mohou nám vycházet záporná čísla). Tímto způsobem můžeme dojít ke třem typům čísel:

1. |E|>1 - funkce je elastická
2. |E|<1 - funkce je neelastická
3. |E|=1 - funkce je jednotkově elastická

Pokud se bavíme o ekonomii, pak elastická (poptávka) znamená pružná, tedy lidé rychle reagují na nějakou změnu ceny. To může nastat u zboží, které je postradatelné. Pokud však jdeme nakoupit chleba a zjistíme, že zdražil o 200%, přesto jej koupíme, neboť se k němu vztahuje nepružná, tedy neelastická poptávka. Hovoříme-li o jednotkové elasticitě, pak se nám závisle proměnná mění přesně o tolik procent, o kolik se mění nezávisle proměnná.

Grafické vyjádření elasticity funkce:

 Obrázek č.1: funkce je v bodě X0 elastická.

 Obrázek č.2: funkce není v bodě X0 elastická.

 Obrázek č.3: funkce je v bodě X0 jednotkově elastická.

Výpočet elasticity v matematice v ekonomii provádíme dělením mezních a průměrných veličin:

E = M(f) / A(f)

Obvykle máme zadanou funkci, z níž musíme získat její mezní funkci (derivaci) a průměrnou funkci (vydělením nezávisle proměnnou). Toto je popsáno v minulém úkolu.

Mějme zadánu funkci Q = P^2 - 6P + 11, z níž vytknutím P získáváme přepis pro parabolu:

Q = (P - 3)^2 +2

Graf č.1: zvolená funkce

Derivací funkce získáme funkci mezních veličin:

Mf: Q = 2P - 6

Vydělení původní funkce nezávisle proměnnou získáme funkci průměrných veličin:

Af: Q = P - 6 + 11/P

Ze vzorce pro výpočet elasticity po dosazení konkrétního bodu (v našem případě 4) získáme hodnotu elasticity (a musíme brát v úvahu absolutní hodnotu tohoto výsledku):

E(4) = Mf/Af = 2,6

Jelikož je hodnota elasticity funkce větší, než 1, říkáme, že v tomto bodě se jedná o funkci elastickou. To dokazuje i nákres na níže umístěném obrázku č.4:

Obrázek č.4: elasticita názorné funkce v bodě 4.

Paradox velké úrody a snížení poplatků za telefon

Výše uvedené paradoxy jsou podrobně rozebrány například zde. 

• Paradox velké úrody pracuje s nepružnou poptávkou; při dobré úrodě obilí zemědělcinevydělají o mnoho více, neboť lidé snědí denně maximálně o půl chleba více.
• Paradox snížení telefonních poplatků pracuje s pružnou poptávkou; sníží-li operátor hovorné, vydělá na tom, neboť lidé začnou urputně telefonovat.

Vztah mezi celkovou, průměrnou a mezní veličinou

Ve zkratce matematicky: mezní veličina je rovna derivaci veličiny celkové. Tedy:

MC = TC'

V praxi tuto znalost využijeme při zjišťování bodů rovnováhy, kdy máme zadánu pouze celkovou veličinu (obvykle TR a TC, celkové příjmy a náklady). Postupem řešení je obvykle výpočet derivace, čímž získáváme mezní veličinu. Vztah je podrobněji vysvětlen v grafu.

Mezní veličina je rovna přírůstku závisle proměnné při změně nezávisle proměnné.

Máme-li zadanou funci veličiny celkové, snadno zjistíme také veličinu průměrnou - vydělíme funkci celkové veličiny její závisle proměnnou.

Například: TR = 6Q - 3Q^2, odtud (dělením Q) AC = 6 - 3Q a také (derivací) MC = 6 - 6Q, viz. graf níže. Tam, kde protíná mezní veličina osu nezávisle proměnné, nalezneme na funkci celkové veličiny lokální extrém. V místě, kde protíná osu nezávisle proměnné funkce průměrných veličin, ji protíná také funkce celkových veličin:

Graf č.1: vztah celkových, mezních a průměrných veličin.

Maximalizace zisku

Zadání úkolu:

Výpočtem hledejte maximální zisk pomocí dvou metod:

1. MC = MR (ekonomické pravidlo)
2. Hledání extrému funkce (využití diferenciálního počtu)

a hledejte spojitosti obou výpočtů.

Zakreslete pod sebe 3 související grafy a do nich VŠECHNY RELEVANTNÍ ÚDAJE A SOUVISLOSTI (POPIŠTE CO NEJVÍCE):

1. TR, TC
2. MR, MC
3. zisk π

Hledejte pro funkce:

• TR = 11 300 Q - 22Q²
• TC = 4 Q³ - 16 Q² + 140 Q + 178

Hladká funkce

Zadání úkolu:
Vysvětlete princip hladké funkce.

Nejprve trocha wikiteorie, pak lidštější vysvětlení: funkce je hladká tehdy, má-li spojitou derivaci.

Příkladem nespojité funkce budiž například lomené čáry nebo jednotlivé nespojené hodnoty (body):

Graf č.1: nespojité body mají nespojitou derivaci, nejedná se tedy o funkci hladkou.

Graf č.2: lomené čáry se navenek mohou tvářit jako hladká funkce, jsou spojeny, avšak analýzou derivace zjistíme, že se jedná (v případě derivace) o nespojitou funkci, lomené čáry tudíž taktéž nejsou funkcí hladkou.

Graf č.3: funkce hladká; je hladká proto, že má spojitou derivaci.

Mezní sklon ke spotřebě

Zadání úkolu:
Popište chování a vlastnosti mezního sklonu ke spotřebě.

Trocha teorie pro začátek: video z ekofun.

MPC = Marginal propensity to consume - makroekonomický koeficient, který udává o kolik se zvýší spotřební výdaje (C) při zvýšení disponibilního důchodu (YD) o jednu jednotku.
MPS = Marginal propensity to save - makroekonomický koeficient, který udává o kolik se zvýší úspory (S) při zvýšení disponibilního důchodu (YD) o jednu korunu.


Dohromady musí součet těchto dvou ukazatelů dávat 1: 

MPC + MPS = 1

A to proto, že část důchodu ušetříme a část utratíme. Je tedy zřejmé, že ukazatel MPC, stejně jako ukazatel MPS nemůže být pro většinu obyvatelstva větší než 1. Je tomu tak proto, že mohu ušetřit nanejvýše celý svůj plat nebo mohu utratit nanejvýše celý svůj plat.


Analyticky dojdeme ke stejnému závěru pomocí goniometrické funkce tangens, která pro úhel velikosti 0°- 45° vrací hodnoty 0 - 1 (a právě to jsou hodnoty MPC).

Funkce a její derivace

Zadání úkolu:
Rozšiřme nyní předchozí příklad o druhou derivaci a složitější funkci.
Mějme zadánu funkci f: y=x^3+2x^2-x+1, jejíž první derivací je funkce g: y=3x^2+4x-1 a jejíž druhou derivací je funkce h: y=6x+4.

Graf č.1 - promítnutí funkce f a její první (g) a druhé (h) derivace do jednoho grafu.

Vyvoďme závěry:

1. Na intervalu  (-∞ ; -1,5) a dále na intervalu (0,25 ; +∞) je první derivace funkce kladná. Z toho vyplývá, že na těchto intervalech je původní funkce rostoucí.
2. Na intervalu (1,5 ; 0,25) nabývá první derivace záporných hodnot, zde je tedy funkce f klesající.
3. Na intervalu  (-∞ ; -0,75) je druhá derivace funkce záporná, z čehož vyvodíme, že původní funkce zde má klesající sklon.
4. Na intervalu  (-0,75 ;  +∞) je druhá derivace funkce kladná, z toho vyplývá, že původní funkce zde má rostoucí sklon.

Tam, kde první derivace (červený graf) protíná osu x, se nachází lokální minima, v místě, kde druhá derivace protíná osu x se funkce mění z konkávní na konvexní, tedy mění se tempo růstu jejího sklonu - z klesajícího na rostoucí.

Sklon funkce

Zadání úkolu:
Nakresli pod sebe dva grafy, na horním znázorni funkci a na spodním její derivaci.

Použitý software pro vykreslování funkcí: Draw Function Graphs - Plotter.


Budiž zadána funkce y=x^2-3x-1, jejíž derivací je funkce y'=2x-3.
(stříška budiž i v dalších příkladech chápána jako "na", zde tedy x "na" druhou)

Graf č.1 - funkce  y=x^2-3x-1

Graf č.2 - derivace výše uvedené funkce: y'=2x-3

Připomeňme si základní pravidlo:

Obrázek č.1 - vysvětluje vztah funkce a derivace funkce

Jelikož jsou grafy ve stejném měřítku, můžeme z jejich porovnání získat cenné informace:

Graf č.3 - porovnání obou f-cí

Porovnáním jsme zjistili, že:

1. Na intervalu (-∞;1,5) je derivace funkce záporná. Z tohoto vyvodíme fakt, že původní funkce je v tomto intervalu klesající (má záporný sklon).
2. Na intervalu (1,5;+∞) je derivace funkce kladná, na tomto intervalu má tedy původní funkce kladný sklon, je rostoucí.

Budeme-li pokračovat hlouběji, zjistíme, že druhá derivace funkce je y''=2, tedy kladná. Z toho můžeme vyvodit znalost, že původná parabola má po celé své délce rostoucí sklon.

Lineární model

Lineární model je základem všech ekonomických modelů, je proto dobré ovládat jej natolik, aby nás to nebrzdilo při studiu.


Zadání úkolu: 
Zakreslete různá zadání, popište, kde a jak se projevuje hodnota k, jak hodnota q. Najděte např. funkci IS nebo LM a určete, jaký má sklon, jaký posun, zakreslete ji do osových souřadnic, popište co nejpečlivě, co všechno jste si uvědomili.

Graf č.1: Lineární model skrze IS - změna sklonu a posunu

Z grafu č.1 je patrné, že k posunu křivky IS může dojít změnou autonomních výdajů, ke změně sklonu pak změno výdajového multiplikátoru.

Graf č.1: Lineární model skrze IS - změna sklonu a posunu

Z grafu č.2 vyplývá, že posun křivky LM způsobuje změna reálných peněžních zůstatků, změnu jejího sklonu způsobuje citlivost poptávky po penězích na změnu důchodu a úrokové míry.

Co způsobí záměna os?

Zadání úkolu: 
Nakreslete vedle sebe dva stejné grafy s lineární funkcí (do mřížky s měřítkem); jednou označte x - nezávisle proměnnou na vodorovnou osu, podruhé na svislou. Ke každé z funkcí napište rovnici: vlevo je u stejné funkce jiný předpis než vpravo (sledujte změny rychlostí; popište rychlosti a posuny ke grafům).