Elasticita funkce

Zadání úkolu:

• Zvol funkci rostoucí, resp. klesající a urči graficky jejich elasticity.
• Zvol funkci nabídky (kvadratickou) a urči její elasticitu jako funkci, pak v jednom bodě - početně, graficky.
• Paradox velké úrody, resp. snížení poplatků za telefon

Nejprve jako vždy trocha teorie:

Elasiticita funkce: Jde o relativní míru změn závisle proměnné v závislosti na relativní změně nezávisle proměnné. Měříme ji ve vztahu k celku. Jedná se sice o nespojitý vzorec, ale díky diferenciálnímu počtu přejdeme ke spojitému.

Jinýmy slovy to samé:

Elasticita funkce: elasticita je poměr relativní změny závislé proměnné vyvolaná relativní změnou nezávislé proměnné (relativní je užito proto, že změny vztahujeme k celku; relativní míra je procentuální změna).

Do třetice (nejjednodušší výklad) ještě jinými slovy znovu to samé:

Elasticita: Pojem, který můžeme intuitivně chápat jako rychlost, s jakou se funkce v daném bodě či na intervalu mění.

V ekonomii je několik druhů elasticit:

• důchodová - která říká, jak reagují nakupující na změnu svého důchodu
• křížová - která říká, jak reagují nakupující na změnu cen jednotlivých výrobků
• a další, které popisují rychlost změny jedné veličiny v závislosti na změně druhé veličiny.

Pro praktické příklady budeme v matematice v ekonomii pracovat s absolutní hodnotou výsledku při výpočtu elasticity (mohou nám vycházet záporná čísla). Tímto způsobem můžeme dojít ke třem typům čísel:

1. |E|>1 - funkce je elastická
2. |E|<1 - funkce je neelastická
3. |E|=1 - funkce je jednotkově elastická

Pokud se bavíme o ekonomii, pak elastická (poptávka) znamená pružná, tedy lidé rychle reagují na nějakou změnu ceny. To může nastat u zboží, které je postradatelné. Pokud však jdeme nakoupit chleba a zjistíme, že zdražil o 200%, přesto jej koupíme, neboť se k němu vztahuje nepružná, tedy neelastická poptávka. Hovoříme-li o jednotkové elasticitě, pak se nám závisle proměnná mění přesně o tolik procent, o kolik se mění nezávisle proměnná.

Grafické vyjádření elasticity funkce:

 Obrázek č.1: funkce je v bodě X0 elastická.

 Obrázek č.2: funkce není v bodě X0 elastická.

 Obrázek č.3: funkce je v bodě X0 jednotkově elastická.

Výpočet elasticity v matematice v ekonomii provádíme dělením mezních a průměrných veličin:

E = M(f) / A(f)

Obvykle máme zadanou funkci, z níž musíme získat její mezní funkci (derivaci) a průměrnou funkci (vydělením nezávisle proměnnou). Toto je popsáno v minulém úkolu.

Mějme zadánu funkci Q = P^2 - 6P + 11, z níž vytknutím P získáváme přepis pro parabolu:

Q = (P - 3)^2 +2

Graf č.1: zvolená funkce

Derivací funkce získáme funkci mezních veličin:

Mf: Q = 2P - 6

Vydělení původní funkce nezávisle proměnnou získáme funkci průměrných veličin:

Af: Q = P - 6 + 11/P

Ze vzorce pro výpočet elasticity po dosazení konkrétního bodu (v našem případě 4) získáme hodnotu elasticity (a musíme brát v úvahu absolutní hodnotu tohoto výsledku):

E(4) = Mf/Af = 2,6

Jelikož je hodnota elasticity funkce větší, než 1, říkáme, že v tomto bodě se jedná o funkci elastickou. To dokazuje i nákres na níže umístěném obrázku č.4:

Obrázek č.4: elasticita názorné funkce v bodě 4.

Paradox velké úrody a snížení poplatků za telefon

Výše uvedené paradoxy jsou podrobně rozebrány například zde. 

• Paradox velké úrody pracuje s nepružnou poptávkou; při dobré úrodě obilí zemědělcinevydělají o mnoho více, neboť lidé snědí denně maximálně o půl chleba více.
• Paradox snížení telefonních poplatků pracuje s pružnou poptávkou; sníží-li operátor hovorné, vydělá na tom, neboť lidé začnou urputně telefonovat.