Funkce a její derivace

Zadání úkolu:
Rozšiřme nyní předchozí příklad o druhou derivaci a složitější funkci.
Mějme zadánu funkci f: y=x^3+2x^2-x+1, jejíž první derivací je funkce g: y=3x^2+4x-1 a jejíž druhou derivací je funkce h: y=6x+4.

Graf č.1 - promítnutí funkce f a její první (g) a druhé (h) derivace do jednoho grafu.

Vyvoďme závěry:

1. Na intervalu  (-∞ ; -1,5) a dále na intervalu (0,25 ; +∞) je první derivace funkce kladná. Z toho vyplývá, že na těchto intervalech je původní funkce rostoucí.
2. Na intervalu (1,5 ; 0,25) nabývá první derivace záporných hodnot, zde je tedy funkce f klesající.
3. Na intervalu  (-∞ ; -0,75) je druhá derivace funkce záporná, z čehož vyvodíme, že původní funkce zde má klesající sklon.
4. Na intervalu  (-0,75 ;  +∞) je druhá derivace funkce kladná, z toho vyplývá, že původní funkce zde má rostoucí sklon.

Tam, kde první derivace (červený graf) protíná osu x, se nachází lokální minima, v místě, kde druhá derivace protíná osu x se funkce mění z konkávní na konvexní, tedy mění se tempo růstu jejího sklonu - z klesajícího na rostoucí.